16. На координатной плоскости даны точки А и прямая /(см. рис.). Определите сумму координат точки, симметричной точке А относительно прямой 1.

По графику определяем координаты точки А(4; 4). Прямая l проходит через точки (0; 6) и (6; 0). Составим уравнение прямой l:

$$ y = kx + b $$

Подставим координаты точек:

$$ 6 = k \cdot 0 + b \Rightarrow b = 6 $$ $$ 0 = k \cdot 6 + 6 \Rightarrow k = -1 $$

Уравнение прямой l:

$$ y = -x + 6 $$

Найдем уравнение прямой, перпендикулярной прямой l и проходящей через точку А. Угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен -1/k = 1. Уравнение прямой:

$$ y = x + b_1 $$

Подставим координаты точки А:

$$ 4 = 4 + b_1 \Rightarrow b_1 = 0 $$

Уравнение перпендикулярной прямой:

$$ y = x $$

Найдем точку пересечения прямой l и перпендикулярной прямой:

$$ \begin{cases} y = -x + 6 \\ y = x \end{cases} $$ $$ x = -x + 6 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3 $$ $$ y = 3 $$

Точка пересечения M(3; 3). Эта точка является серединой отрезка между точкой А и симметричной ей точкой A'. Пусть координаты точки A'(x'; y').

$$ M = (\frac{x + x'}{2}; \frac{y + y'}{2}) $$ $$ 3 = \frac{4 + x'}{2} \Rightarrow 6 = 4 + x' \Rightarrow x' = 2 $$ $$ 3 = \frac{4 + y'}{2} \Rightarrow 6 = 4 + y' \Rightarrow y' = 2 $$

Точка A'(2; 2). Сумма координат точки A' равна 2 + 2 = 4.

Ответ: 4