На координатной плоскости даны точки А и прямая l (см. рис.). Определите сумму ко- ординат точки, симметричной точке А от- носительно прямой l.

Ответ: 3

1. Определим координаты точки A. Из рисунка видно, что координаты точки A равны (4; 1).
2. Определим координаты точки, симметричной точке A относительно прямой l. Прямая l проходит через точки (0; 2) и (2; 0). Следовательно, уравнение прямой имеет вид y = -x + 2. Точка, симметричная A, будет находиться на перпендикуляре к прямой l, проходящем через точку A. Угловой коэффициент перпендикуляра равен 1, так как произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно -1.
3. Уравнение перпендикуляра к прямой l, проходящего через точку A(4; 1), имеет вид y = x + b. Подставим координаты точки A, чтобы найти b: 1 = 4 + b, b = -3. Итак, уравнение перпендикуляра: y = x - 3.
4. Найдем точку пересечения прямой l и перпендикуляра: \[\begin{cases} y = -x + 2 \\ y = x - 3 \end{cases}\] Следовательно, -x + 2 = x - 3, 2x = 5, x = 2.5. Тогда y = 2.5 - 3 = -0.5. Точка пересечения (2.5; -0.5).
5. Пусть точка A'(x'; y') симметрична точке A(4; 1) относительно точки (2.5; -0.5). Тогда (2.5; -0.5) является серединой отрезка AA'. Координаты середины отрезка находятся как полусумма координат концов отрезка: \[\begin{cases} \frac{x + x'}{2} = 2.5 \\ \frac{y + y'}{2} = -0.5 \end{cases}\] Тогда \[\begin{cases} \frac{4 + x'}{2} = 2.5 \\ \frac{1 + y'}{2} = -0.5 \end{cases}\] Решаем систему: \[\begin{cases} 4 + x' = 5 \\ 1 + y' = -1 \end{cases}\] \[\begin{cases} x' = 1 \\ y' = -2 \end{cases}\] Следовательно, точка A' имеет координаты (1; -2).
6. Найдем сумму координат точки A': 1 + (-2) = -1.

Ответ: -1