4. На координатной плоскости изображены векторы $$\overrightarrow{a}$$ и $$\overrightarrow{b}$$. Найдите косинус угла между векторами $$\overrightarrow{a}$$ и $$\overrightarrow{b}$$

Ответ: -0.6

1. Шаг 1: Найдем координаты векторов

   Из графика определяем координаты векторов:

   • $$\overrightarrow{a} = (-2; 2)$$
   • $$\overrightarrow{b} = (3; -1)$$

2. Шаг 2: Вычислим скалярное произведение векторов

   Скалярное произведение векторов $$\overrightarrow{a} = (x_1; y_1)$$ и $$\overrightarrow{b} = (x_2; y_2)$$ вычисляется по формуле:$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_1x_2 + y_1y_2$$

   Подставляем координаты наших векторов:

   $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (-2) \cdot 3 + 2 \cdot (-1) = -6 - 2 = -8$$

3. Шаг 3: Найдем длины векторов

   Длина вектора $$\overrightarrow{a} = (x; y)$$ вычисляется по формуле: $$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$$

   • Длина вектора $$\overrightarrow{a}$$: $$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$
   • Длина вектора $$\overrightarrow{b}$$: $$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$

4. Шаг 4: Вычислим косинус угла между векторами

   Косинус угла между векторами $$\overrightarrow{a}$$ и $$\overrightarrow{b}$$ вычисляется по формуле:

   $$\cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|}$$

   Подставляем значения:

   $$\cos(\alpha) = \frac{-8}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{10}} = \frac{-8}{2\sqrt{20}} = \frac{-4}{\sqrt{20}} = \frac{-4}{\sqrt{4 \cdot 5}} = \frac{-4}{2\sqrt{5}} = \frac{-2}{\sqrt{5}}$$

   Умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt{5}$$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

   $$\cos(\alpha) = \frac{-2\sqrt{5}}{5} ≈ -0.6$$

5. Итог:

   $$\cos(\alpha) ≈ -0.6$$

Ответ: -0.6