На координатной плоскости изображены векторы а и б. Найдите косинус угла между ними.

Решение:

Вектор \( \vec{a} \) начинается в точке \( (0, 0) \) и заканчивается в точке \( (-2, 4) \). Следовательно, его координаты \( \vec{a} = \langle -2, 4 \rangle \).

Вектор \( \vec{b} \) начинается в точке \( (0, 0) \) и заканчивается в точке \( (3, -1) \). Следовательно, его координаты \( \vec{b} = \langle 3, -1 \rangle \).

Формула косинуса угла между двумя векторами:

\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|a| |b|} \]\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (-2)(3) + (4)(-1) = -6 - 4 = -10 \]\[ |a| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]\[ |b| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \]\[ \cos(\theta) = \frac{-10}{(2\sqrt{5})(\sqrt{10})} = \frac{-10}{2\sqrt{50}} = \frac{-10}{2 \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{-10}{10\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Ответ:

Косинус угла между векторами равен \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \).