На координатной плоскости нарисовали параллелограмм ABCD. Координаты его вершин: A(0; 0), B(2; 3), C(6; 3), D(4; 0). Вне параллелограмма взяли точку M. Найдите AM² + CM² − BM² − DM².

Обозначим координаты точки \(M\) через \((x;y)\). Тогда по формуле квадрата расстояния:

\(AM^2=x^2+y^2\),
\(CM^2=(x-6)^2+(y-3)^2\),
\(BM^2=(x-2)^2+(y-3)^2\),
\(DM^2=(x-4)^2+y^2\).

Подставим выражения и упростим:

\(AM^2+CM^2-BM^2-DM^2\)
\(=x^2+y^2+(x-6)^2+(y-3)^2-(x-2)^2-(y-3)^2-(x-4)^2-y^2\)
\(=(x-6)^2-(x-2)^2-(x-4)^2+x^2\)
\(=(x^2-12x+36)-(x^2-4x+4)-(x^2-8x+16)+x^2=16.\)

Значение не зависит от положения точки \(M\).

Ответ: 16.