На координатной плоскости постройте отрезок AB и прямую PK, если B(5; 1), P(-8; -1), K(4; 5). Запишите координаты точек пересечения прямой PK с построенным отрезком и осями координат.

Решение:

1. Построим отрезок AB и прямую PK на координатной плоскости.

2. Найдём уравнение прямой PK, проходящей через точки P(-8; -1) и K(4; 5).

Сначала найдём угловой коэффициент (наклон) прямой:

\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - (-1)}{4 - (-8)} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \]

Теперь используем уравнение прямой с угловым коэффициентом \( y = mx + b \) и подставим координаты точки K(4; 5), чтобы найти \( b \):

\[ 5 = \frac{1}{2} \cdot 4 + b \]

\[ 5 = 2 + b \]

\[ b = 3 \]

Уравнение прямой PK: \( y = \frac{1}{2}x + 3 \).

3. Найдём точки пересечения прямой PK с осями координат:

Пересечение с осью Oy (x = 0):

\[ y = \frac{1}{2} \cdot 0 + 3 = 3 \]

Точка пересечения с осью Oy: (0; 3).

Пересечение с осью Ox (y = 0):

\[ 0 = \frac{1}{2}x + 3 \]

\[ \frac{1}{2}x = -3 \]

\[ x = -6 \]

Точка пересечения с осью Ox: (-6; 0).

4. Найдём точку пересечения прямой PK с отрезком AB.

Для этого нам нужны координаты точки A. Из рисунка видно, что A имеет координаты (0; 6).

Уравнение прямой AB, проходящей через точки A(0; 6) и B(5; 1):

Сначала найдём угловой коэффициент:

\[ m_{AB} = \frac{1 - 6}{5 - 0} = \frac{-5}{5} = -1 \]

Так как точка A имеет x-координату 0, то её y-координата (6) является свободным членом в уравнении прямой AB. Уравнение прямой AB: \( y = -x + 6 \).

Теперь приравняем уравнения прямых PK и AB, чтобы найти точку их пересечения:

\[ \frac{1}{2}x + 3 = -x + 6 \]

\[ \frac{1}{2}x + x = 6 - 3 \]

\[ \frac{3}{2}x = 3 \]

\[ x = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2 \]

Теперь найдём y, подставив x = 2 в уравнение прямой AB:

\[ y = -2 + 6 = 4 \]

Точка пересечения прямой PK и отрезка AB: (2; 4).

5. Запишем координаты точек пересечения.

Точка пересечения прямой PK с отрезком AB: (2; 4).

Точка пересечения прямой PK с осью Oy: (0; 3).

Точка пересечения прямой PK с осью Ox: (-6; 0).

Графическое представление

Ответ: Координаты точек пересечения прямой PK с отрезком AB: (2; 4). Координаты точек пересечения прямой PK с осями координат: (0; 3) и (-6; 0).