На координатной плоскости постройте отрезок АВ и прямую РК, если А(0; 6), B(5; 1), P(-8; −1), K(4; 5). Запишите координаты точек пересечения прямой РК с построенным отрезком и осями координат.

Решение:

1. Построим отрезок AB по заданным координатам A(0; 6) и B(5; 1). Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A и B.

Угловой коэффициент \( k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 6}{5 - 0} = \frac{-5}{5} = -1 \).

Уравнение прямой: \( y - y_1 = k(x - x_1) \) \( y - 6 = -1(x - 0) \) \( y = -x + 6 \).

2. Построим прямую PK по заданным координатам P(-8; −1) и K(4; 5).

Угловой коэффициент \( k_{PK} = \frac{5 - (-1)}{4 - (-8)} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \).

Уравнение прямой PK: \( y - 5 = \frac{1}{2}(x - 4) \) \( 2(y - 5) = x - 4 \) \( 2y - 10 = x - 4 \) \( x - 2y + 6 = 0 \).

3. Найдем точку пересечения отрезка AB и прямой PK. Для этого решим систему уравнений:

\( \begin{cases} y = -x + 6 \\ x - 2y + 6 = 0 \end{cases} \)

Подставим первое уравнение во второе:

\( x - 2(-x + 6) + 6 = 0 \) \( x + 2x - 12 + 6 = 0 \) \( 3x - 6 = 0 \) \( 3x = 6 \) \( x = 2 \).

Найдем y:

\( y = -2 + 6 = 4 \).

Точка пересечения отрезка AB и прямой PK — (2; 4).

4. Найдем точки пересечения прямой PK с осями координат.

Пересечение с осью OX (y = 0):

\( x - 2(0) + 6 = 0 \) \( x + 6 = 0 \) \( x = -6 \). Точка пересечения с OX: (-6; 0).

Пересечение с осью OY (x = 0):

\( 0 - 2y + 6 = 0 \) \( -2y = -6 \) \( y = 3 \). Точка пересечения с OY: (0; 3).

5. Проверим, что точка (2; 4) лежит на отрезке AB. Для этого x=2 должен быть между 0 и 5, а y=4 между 1 и 6. Это верно.

Ответ: Точка пересечения отрезка AB и прямой PK: (2; 4). Точки пересечения прямой PK с осями координат: (-6; 0) и (0; 3).