На координатной прямой отмечены точки X(-21) и Y(12). Точки M и N лежат на отрезке XY. Найдите координаты точек M и N, если: а) M — середина отрезка XN, N — середина отрезка MY; б) M — середина отрезка NY, N — середина отрезка XM.

а) Пусть координаты точек M и N равны соответственно \(m\) и \(n\). По условию:

\[m=\frac{-21+n}{2},\qquad n=\frac{m+12}{2}.\]

Из первого равенства \(n=2m+21\), а из второго \(m=2n-12\). Подставим:

\[m=2(2m+21)-12=4m+30,\qquad 3m=-30,\qquad m=-10.\]

Тогда \(n=2\cdot(-10)+21=1\).

б) По условию:

\[m=\frac{n+12}{2},\qquad n=\frac{-21+m}{2}.\]

Из первого равенства \(m=\frac{n+12}{2}\). Подставим во второе:

\[n=\frac{-21+\frac{n+12}{2}}{2}.\]

Умножим на 4:

\[4n=-42+n+12,\qquad 3n=-30,\qquad n=-10.\]

Тогда \(m=\frac{-10+12}{2}=1\).

Ответ: а) \(M(-10)\), \(N(1)\); б) \(M(1)\), \(N(-10)\).