На медиане BM треугольника ABC взяли точку E так, что угол CEM равен углу ABM. Докажите, что отрезок CE равен одной из сторон треугольника.

Так как BM — медиана треугольника ABC, точка M — середина AC, поэтому AM = MC.

Точки B, E и M лежат на одной прямой. Из равенства углов ∠CEM = ∠ABM следует, что прямые CE и AB параллельны: эти углы образованы секущей BM и лежат накрест.

Рассмотрим треугольники MCE и MAB. У них ∠CME = ∠AMB, поскольку лучи ME и MB лежат на одной прямой, а MC и MA — на одной прямой. Кроме того, ∠CEM = ∠ABM. Значит, треугольники подобны по двум углам.

Из подобия следует \(\frac{CE}{AB}=\frac{MC}{MA}\). Так как MC = MA, получаем CE = AB.

Ответ: CE = AB.