На медиане СМ равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ взята точка О. Докажите, что треугольник АОВ равнобедренный.

Решение:

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ медиана СМ является также высотой и биссектрисой. Это означает, что СМ перпендикулярна АВ, и угол СМА равен углу СМВ (по 90 градусов).

Рассмотрим треугольники АМС и ВМС:

• АС = ВС (по условию, треугольник АВС равнобедренный).
• СМ — общая сторона.
• ∠ СМА = ∠ СМВ = 90°.

По двум катетам (СМ и AM = BM, так как М — середина АВ) треугольники АМС и ВМС равны. Значит, ∠ САМ = ∠ СВМ.

Теперь рассмотрим треугольник АОВ. В нём:

• ∠ OAB = ∠ CAB (так как точка О лежит на медиане СМ, а не меняет угол при вершине А).
• ∠ OBA = ∠ CBA (аналогично, точка О не меняет угол при вершине В).

Так как ∠ CAB = ∠ CBA, то и ∠ OAB = ∠ OBA. Треугольник АОВ имеет два равных угла при основании АВ. Следовательно, треугольник АОВ равнобедренный.

Доказано.