На невесомую чашку пружинных весов, подвешенную к пружине с жёсткостью 183 Н/м, падает с высоты 0,6 м груз массой 138 г и прилипает к ней. Определи амплитуду возникающих при этом колебаний чашки. При расчётах прими $$g = 9,8 \frac{м}{с^2}$$. (Ответ округли до целых.)

Для решения задачи нам понадобятся законы сохранения энергии и закон Гука.

1. Прежде всего, переведем массу груза в килограммы:

$$m = 138 \ г = 0.138 \ кг$$

2. Найдем скорость груза в момент удара о чашку весов. Используем закон сохранения энергии: потенциальная энергия груза переходит в кинетическую энергию непосредственно перед ударом.

$$mgh = \frac{mv^2}{2}$$, где

• (m) - масса груза,
• (g) - ускорение свободного падения,
• (h) - высота падения,
• (v) - скорость груза в момент удара.

Выразим скорость (v):

$$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 0.6} = \sqrt{11.76} \approx 3.43 \ м/с$$

3. После удара груз и чашка начнут колебаться. Чтобы найти амплитуду колебаний, нужно найти максимальное отклонение системы от положения равновесия. Положение равновесия соответствует точке, где сила тяжести уравновешена силой упругости пружины.

4. Найдем новое положение равновесия. После того как груз упал на чашку, пружина сожмется на некоторую величину \(\Delta x\). В положении равновесия сила тяжести груза будет уравновешена силой упругости пружины:

$$k \Delta x = mg$$

где (k) - жёсткость пружины.

Выразим \(\Delta x\):

$$\Delta x = \frac{mg}{k} = \frac{0.138 \cdot 9.8}{183} = \frac{1.3524}{183} \approx 0.0074 \ м = 0.74 \ см$$

5. Определим энергию системы сразу после удара. Сразу после удара груз имеет скорость (v), и система (груз + чашка) обладает кинетической энергией:

$$E_{кин} = \frac{(m)v^2}{2} = \frac{0.138 \cdot (3.43)^2}{2} = \frac{0.138 \cdot 11.76}{2} \approx 0.81 \ Дж$$

6. Амплитуда колебаний. Полная энергия колебаний равна потенциальной энергии пружины в момент максимального отклонения (амплитуды):

$$E_{полн} = \frac{kA^2}{2}$$, где (A) - амплитуда колебаний.

Приравниваем кинетическую энергию сразу после удара и полную энергию колебаний:

$$\frac{kA^2}{2} = E_{кин}$$

Выразим амплитуду (A):

$$A = \sqrt{\frac{2E_{кин}}{k}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0.81}{183}} = \sqrt{\frac{1.62}{183}} \approx \sqrt{0.00885} \approx 0.094 \ м = 9.4 \ см$$

7. Округлим ответ до целых:

$$A \approx 9 \ см$$

Ответ: 9