На один рубль нужно купить без сдачи 100 яиц. Гусиное яйцо стоит 5 копеек, утиное — 3 копейки, а куриное — 1 копейку за десяток. Сколько каких яиц окажется в купленной сотне?

Решение:

Обозначим количество гусиных яиц как г, утиных как у, а куриных как к.

Из условия задачи имеем два уравнения:

1. Общее количество яиц: \( г + у + к = 100 \)
2. Общая стоимость яиц (1 рубль = 100 копеек): \( 5г + 3у + 1 \cdot \frac{к}{10} = 100 \)

Умножим второе уравнение на 10, чтобы избавиться от дроби:

\( 50г + 30у + к = 1000 \)

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( г + у + к = 100 \)
2. \( 50г + 30у + к = 1000 \)

Вычтем первое уравнение из второго:

\( (50г + 30у + к) - (г + у + к) = 1000 - 100 \)

\( 49г + 29у = 900 \)

Так как количество яиц должно быть целым числом, будем подбирать значения для г и у. Проверим возможные значения.

Если \( г = 10 \), то \( 49 \cdot 10 + 29у = 900 \) → \( 490 + 29у = 900 \) → \( 29у = 410 \). \( 410 \) не делится на \( 29 \) без остатка.

Если \( г = 11 \), то \( 49 \cdot 11 + 29у = 900 \) → \( 539 + 29у = 900 \) → \( 29у = 361 \). \( 361 \) не делится на \( 29 \) без остатка.

Если \( г = 12 \), то \( 49 \cdot 12 + 29у = 900 \) → \( 588 + 29у = 900 \) → \( 29у = 312 \). \( 312 \) не делится на \( 29 \) без остатка.

Если \( г = 13 \), то \( 49 \cdot 13 + 29у = 900 \) → \( 637 + 29у = 900 \) → \( 29у = 263 \). \( 263 \) не делится на \( 29 \) без остатка.

Если \( г = 14 \), то \( 49 \cdot 14 + 29у = 900 \) → \( 686 + 29у = 900 \) → \( 29у = 214 \). \( 214 \) не делится на \( 29 \) без остатка.

Если \( г = 15 \), то \( 49 \cdot 15 + 29у = 900 \) → \( 735 + 29у = 900 \) → \( 29у = 165 \). \( 165 \) не делится на \( 29 \) без остатка.

Если \( г = 16 \), то \( 49 \cdot 16 + 29у = 900 \) → \( 784 + 29у = 900 \) → \( 29у = 116 \). \( 116 \) делится на \( 29 \) без остатка: \( у = 116 / 29 = 4 \).

Итак, мы нашли одно из возможных решений: \( г = 16 \) и \( у = 4 \).

Теперь найдём количество куриных яиц \( к \) из первого уравнения:

\( 16 + 4 + к = 100 \)

\( 20 + к = 100 \)

\( к = 80 \)

Проверим стоимость:

\( 16 \cdot 5 + 4 \cdot 3 + 80 \cdot \frac{1}{10} = 80 + 12 + 8 = 100 \) копеек.

Все условия выполнены.

Ответ: 16 гусиных яиц, 4 утиных яйца, 80 куриных яиц.