На одной из кафедр университета работают 13 человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. Десять человек знают английский, семеро — немецкий, шестеро — французский, пятеро знают английский и немецкий, четверо — английский и французский, трое — немецкий и французский языки. Выясните, сколько человек знают все три языка.

Решим эту задачу, используя принцип включений-исключений. Пусть: * A - множество людей, знающих английский язык, * B - множество людей, знающих немецкий язык, * C - множество людей, знающих французский язык. Из условия задачи нам известно: * \(|A| = 10\) * \(|B| = 7\) * \(|C| = 6\) * \(|A \cap B| = 5\) * \(|A \cap C| = 4\) * \(|B \cap C| = 3\) * \(|A \cup B \cup C| = 13\) (общее число людей) Нам нужно найти \(|A \cap B \cap C|\) – количество людей, знающих все три языка. Принцип включений-исключений для трех множеств: \[|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|\] Подставим известные значения: \[13 = 10 + 7 + 6 - 5 - 4 - 3 + |A \cap B \cap C|\] \[13 = 23 - 12 + |A \cap B \cap C|\] \[13 = 11 + |A \cap B \cap C|\] \[|A \cap B \cap C| = 13 - 11\] \[|A \cap B \cap C| = 2\] Таким образом, 2 человека знают все три языка.