На одной стороне прямого угла О отмечены две точки А и В так, что OA = 1,7, OB = а, ОА <ОВ. Составьте формулу, по которой можно вычислить радиус г окружности, проходящей через точки А, В и касающейся другой стороны угла.

Решение:

Пусть дан прямой угол с вершиной в точке \( O \). На одной стороне угла отмечены точки \( A \) и \( B \) так, что \( OA = 1.7 \) и \( OB = a \), причём \( OA < OB \). Окружность с центром в точке \( O \) и радиусом \( r \) проходит через точки \( A \) и \( B \), а также касается другой стороны угла. Это означает, что расстояние от \( O \) до каждой из сторон угла равно радиусу \( r \).

Для того чтобы окружность касалась другой стороны угла, её радиус \( r \) должен быть равен расстоянию от вершины угла \( O \) до этой стороны. Поскольку угол прямой, его стороны перпендикулярны.

Из условия задачи следует, что точки \( A \) и \( B \) находятся на одной и той же стороне от вершины \( O \). Радиус окружности, проходящей через точки \( A \) и \( B \) и касающейся другой стороны угла, должен быть равен расстоянию от \( O \) до этой другой стороны. Так как угол прямой, расстояние от \( O \) до каждой из сторон равно 0, что не имеет смысла для радиуса окружности.

Однако, если предположить, что речь идёт о радиусе окружности, центр которой находится в точке \( O \), и эта окружность проходит через точки \( A \) и \( B \), то радиус \( r \) будет зависеть от положений точек \( A \) и \( B \).

Если окружность имеет центр в точке \( O \) и проходит через \( A \) и \( B \), то \( OA = OB = r \). Но по условию \( OA = 1.7 \) и \( OB = a \), и \( OA < OB \). Следовательно, точки \( A \) и \( B \) не могут лежать на одной окружности с центром в \( O \) если \( OA \neq OB \).

Рассмотрим другой случай: окружность не обязательно имеет центр в \( O \). Пусть \( r \) — радиус искомой окружности. Окружность касается одной из сторон прямого угла (например, оси \( Oy \)) и проходит через точки \( A \) и \( B \), лежащие на другой стороне угла (например, на оси \( Ox \)).

Пусть \( O = (0,0) \). Точки \( A \) и \( B \) лежат на оси \( Ox \). Пусть \( A = (1.7, 0) \) и \( B = (a, 0) \). Окружность касается оси \( Oy \). Её центр будет иметь координаты \( (r, y_c) \) или \( (-r, y_c) \). Если окружность касается оси \( Oy \) в точке \( (0, y_0) \), то её центр \( (r, y_0) \).

Если окружность касается оси \( Oy \) и проходит через \( A(1.7, 0) \) и \( B(a, 0) \), то уравнение окружности имеет вид \( (x-r)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \).

Подставляем координаты точек \( A \) и \( B \):

1. Для точки \( A(1.7, 0) \): \( (1.7-r)^2 + (0-y_0)^2 = r^2 \)
\( 1.7^2 - 3.4r + r^2 + y_0^2 = r^2 \) \( 2.89 - 3.4r + y_0^2 = 0 \) \( y_0^2 = 3.4r - 2.89 \)

2. Для точки \( B(a, 0) \): \( (a-r)^2 + (0-y_0)^2 = r^2 \)
\( a^2 - 2ar + r^2 + y_0^2 = r^2 \) \( a^2 - 2ar + y_0^2 = 0 \)

Подставляем \( y_0^2 \) из первого уравнения во второе:

\( a^2 - 2ar + (3.4r - 2.89) = 0 \) \( a^2 - 2.89 + r(3.4 - 2a) = 0 \)

Отсюда можно выразить \( r \), если \( 3.4 - 2a \neq 0 \):

\( r(2a - 3.4) = a^2 - 2.89 \) \( r = \frac{a^2 - 2.89}{2a - 3.4} \)

Также, \( y_0^2 = 3.4r - 2.89 \geq 0 \), следовательно \( 3.4r ≥ 2.89 \), \( r ≥ \frac{2.89}{3.4} = 0.85 \).

Из условия \( OA < OB \), то есть \( 1.7 < a \).

Проверим знаменатель \( 2a - 3.4 \). Так как \( a > 1.7 \), то \( 2a > 3.4 \), значит \( 2a - 3.4 > 0 \). Знаменатель положителен.

Проверим числитель \( a^2 - 2.89 \). Так как \( a > 1.7 \), то \( a^2 > 1.7^2 = 2.89 \), значит \( a^2 - 2.89 > 0 \). Числитель положителен.

Следовательно, \( r \) будет положительным.

Формула для радиуса \( r \) окружности:

\( r = \frac{a^2 - (1.7)^2}{2a - 2(1.7)} \)

Ответ: \( r = \frac{a^2 - 2.89}{2a - 3.4} \).