7.6. На одной стороне угла с вершиной О отмечены точки А и С, на другой – точки В и Д, отрезки AD и ВС пересекаются в точке Е (рис. 36). Докажите, что если АС = BD и LADO = ∠BCO, то луч ОЕ является бис- сектрисой угла АОВ. 7.7. Равносторонний треугольник перегнули так, что одна его вершина попала на противоположную сторону (рис. 37). Докажите, что 21 = 22.

Ответ: задача 7.6 и 7.7 решены ниже.

• Угол с вершиной O.
• Точки A и C на одной стороне угла.
• Точки B и D на другой стороне угла.
• Отрезки AD и BC пересекаются в точке E.
• AC = BD
• ∠ADO = ∠BCO

• OE – биссектриса угла AOB.

• Шаг 1: Рассмотрим треугольники ADC и BCD.
  В этих треугольниках:
  AC = BD (по условию)
  ∠ADO = ∠BCO (по условию)
  DC – общая сторона.
• Шаг 2: Докажем равенство треугольников ADC и BCD по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).
• Шаг 3: Из равенства треугольников ADC и BCD следует, что:
  ∠DAC = ∠CBD
  ∠CDA = ∠BCD
  AD = BC
• Шаг 4: Рассмотрим треугольники ADE и BCE.
  В этих треугольниках:
  AD = BC (из равенства треугольников ADC и BCD)
  ∠ADE = ∠BCE (по условию ∠ADO = ∠BCO)
  ∠DAE = ∠CBE (так как ∠DAC = ∠CBD)
• Шаг 5: Докажем равенство треугольников ADE и BCE по стороне и двум прилежащим к ней углам (по второму признаку равенства треугольников).
• Шаг 6: Из равенства треугольников ADE и BCE следует, что:
  AE = BE
  DE = CE
• Шаг 7: Рассмотрим треугольники AOE и BOE.
  В этих треугольниках:
  AE = BE (из равенства треугольников ADE и BCE)
  AO = BO (так как AC = BD и AE = BE, то AO = AC + CE = BD + DE = BO)
  OE – общая сторона.
• Шаг 8: Докажем равенство треугольников AOE и BOE по трем сторонам (по третьему признаку равенства треугольников).
• Шаг 9: Из равенства треугольников AOE и BOE следует, что:
  ∠AOE = ∠BOE
• Шаг 10: Так как ∠AOE = ∠BOE, то OE – биссектриса угла AOB.

• Равносторонний треугольник, перегнутый так, что одна из вершин попала на противоположную сторону.

• ∠1 = ∠2

• Шаг 1: Пусть ABC – равносторонний треугольник, и вершина A перегнута в точку A' на стороне BC.
• Шаг 2: При перегибании сохраняется длина отрезка и величина угла. Следовательно, отрезок, соединяющий вершину с точкой перегиба на стороне, образует равные углы с перегнутой и исходной сторонами.
• Шаг 3: Пусть линия перегиба – DE, где D лежит на AB, а E лежит на AC. Тогда ∠ADE = ∠A'DE и ∠AED = ∠A'ED.
• Шаг 4: Так как треугольник ABC равносторонний, то ∠BAC = 60°.
• Шаг 5: В треугольнике ADE: ∠ADE + ∠AED + ∠DAE = 180°.
• Шаг 6: Следовательно, ∠ADE + ∠AED = 180° - 60° = 120°.
• Шаг 7: Поскольку ∠ADE = ∠A'DE и ∠AED = ∠A'ED, то ∠A'DE + ∠A'ED = 120°.
• Шаг 8: Рассмотрим четырехугольник ADA'E. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Следовательно, ∠DA'E = 360° - (∠ADE + ∠AED + ∠A'DE + ∠A'ED) = 360° - 2(120°) = 360° - 240° = 120°.
• Шаг 9: Теперь, ∠1 и ∠DA'E – смежные углы, то есть ∠1 + ∠DA'E = 180°.
• Шаг 10: Отсюда, ∠1 = 180° - ∠DA'E = 180° - 120° = 60°.
• Шаг 11: Аналогично, ∠2 и ∠DA'E – смежные углы, то есть ∠2 + ∠DA'E = 180°.
• Шаг 12: Отсюда, ∠2 = 180° - ∠DA'E = 180° - 120° = 60°.
• Шаг 13: Таким образом, ∠1 = ∠2 = 60°.