7.6. На одной стороне угла с вершиной О отмечены точки А и С, на другой точки В и D, отрезки AD и ВС пересекаются в точке Е (рис. 36). Докажите, что если АС BD и LADO ВСО, то луч ОЕ является бис- сектрисой угла АОВ. 7.7. Равносторонний треугольник перегнули так, что одна его вершина попала на противоположную сторону (рис. 37). Докажите, что 21 = 22. Внешний угол треугольника 7.8. Внутри треугольника АВС отмечена точка О. Докажите, что ∠AOC > > ∠ABC. 7.9. На стороне ВС равнобедренного треугольника АВС с основанием АС отмечена точка В так, что ∠CAD: ∠DAB 12. Отрезок AD пересекает высоту ВН в точке Е. Докажите, что DE = DC. 7.10. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВЕ. Докажите, что если ВС + СЕ - АВ, то ДС -2/А. 7.11. На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка М так, что BM AB. Найдите разность углов ВАМ И САМ, если ДАСВ 35°. Равнобедренный треугольник 7.12. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника об- разует с противоположной стороной угол 75°. Найдите угол при основании. 7.13. В треугольнике АВС, в котором ∠A = 36° и В 108°, проведе- ны биссектрисы АА, и ВВ. Докажите, что АА, 2ВВ₁. 7.14. На стороне ВС равнобедренного треугольника ABC (AB = BС) от- мечены точки № и М (BN < ВМ) так, что №М АМ И МАC = ∠BAN. Найдите угол CAN. 7.15. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отмечена точ- ка D, а на боковых сторонах АВ и ВС точки Е и F так, что DE = DF. Докажите, что: а) если ∠EDF = ∠A, το AE + FC = AС; б) если АE + FC = AC, το ΔEDF = ZA. 7.16. На стороне АС равностороннего треугольника АВС отмечена точка М, а на продолжении стороны ВС за точку С отмечена точка № так, что МВ ММ. Докажите, что АМ СМ. 25 7.17. На сторонах АВ и ВС равностороннего треугольника отмечены точ- ки ДиК, а на стороне АС отмечены точки Е и М так, что AE + AD CK + CM АВ. Отрезки DM и ЕК пересекаются в точке Р. Найдите угол ЕРМ.

Ответ: Решение ниже

7.6

Для доказательства, что OE является биссектрисой угла AOB, нужно показать, что углы AOE и BOE равны.

• Рассмотрим треугольники AOE и BOE.
• Из условия AC = BD и ∠ADO = ∠BCO следует, что треугольники AOD и BOC равны по стороне и двум прилежащим углам (АС = BD, ∠DAO = ∠CBO и ∠ADO = ∠BCO).
• Следовательно, AO = BO и DO = CO.
• Рассмотрим треугольники AOE и BOE: AE = BE (так как AD и BC пересекаются в точке E, а треугольники AOD и BOC равны, то AE = BE), AO = BO и OE - общая сторона.
• Следовательно, треугольники AOE и BOE равны по трем сторонам.
• Из равенства треугольников следует равенство углов: ∠AOE = ∠BOE.
• Таким образом, OE - биссектриса угла AOB.

Ответ: OE - биссектриса угла AOB.

7.7

Рассмотрим равносторонний треугольник ABC, который перегнули так, что вершина A попала на сторону BC в точку A'.

• Пусть линия перегиба DE.
• Тогда угол 1 = углу ADE, угол 2 = углу AED.
• Так как DE - линия перегиба, то треугольник ADE равен треугольнику A'DE.
• Следовательно, угол ADE = углу A'DE и угол AED = углу A'ED.
• Угол ADA' и угол AEA' - развернутые, поэтому угол ADE + угол A'DE = 180° и угол AED + угол A'ED = 180°.
• Угол ADE = угол A'DE = 90° и угол AED = угол A'ED = 90°.
• Таким образом, угол 1 = углу 2 = 90°.
• Следовательно, ∠1 = ∠2.

Ответ: ∠1 = ∠2.

7.8

Внутри треугольника ABC отмечена точка O. Докажем, что ∠AOC > ∠ABC.

• Соединим точку O с вершинами A и C.
• Рассмотрим треугольник AOC.
• Угол AOC - внешний угол треугольника AOB, следовательно, ∠AOC = ∠OAB + ∠OBA.
• Угол ABC = ∠OBA + ∠OBC.
• Так как ∠OAB > 0, то ∠AOC > ∠ABC.

Ответ: ∠AOC > ∠ABC.

7.9

На стороне BC равнобедренного треугольника ABC с основанием AC отмечена точка D так, что ∠CAD : ∠DAB = 1 : 2. Отрезок AD пересекает высоту BH в точке E. Докажем, что DE = DC.

• Пусть ∠CAD = x, тогда ∠DAB = 2x.
• Так как треугольник ABC равнобедренный, то ∠BAC = ∠BCA = 3x.
• Угол ABC = 180° - 6x.
• BH - высота, следовательно, ∠BHA = 90°.
• В треугольнике ABH: ∠BAH = 90° - (180° - 6x) = 6x - 90°.
• ∠DAH = ∠BAH - ∠BAD = (6x - 90°) - 2x = 4x - 90°.
• В треугольнике AHD: ∠ADH = 90° - (4x - 90°) = 180° - 4x.
• ∠C = 3x, следовательно, ∠ADC = 180° - 4x = ∠ADE.
• ∠AED = 90° - ∠DAH = 90° - (4x - 90°) = 180° - 4x.
• Рассмотрим треугольник DEC: ∠DEC = ∠AEB = 180° - ∠AED = 4x.
• ∠EDC = 180° - 4x.
• Следовательно, ∠DEC = 180° - 4x = ∠EDC.
• Таким образом, треугольник DEC равнобедренный, и DE = DC.

Ответ: DE = DC.

7.10

В треугольнике ABC проведена биссектриса BE. Докажите, что если BC + CE = AB, то ∠C = 2∠A.

• Отложим на стороне AB отрезок BD = BC.
• Тогда AD = AB - BD = AB - BC = CE.
• Рассмотрим треугольники BCE и BDE: BC = BD, BE - общая сторона, ∠CBE = ∠DBE (BE - биссектриса).
• Следовательно, треугольники BCE и BDE равны по двум сторонам и углу между ними.
• Тогда CE = DE и ∠BCE = ∠BDE.
• Так как CE = AD, то AD = DE, и треугольник ADE равнобедренный.
• ∠DAE = ∠DEA.
• ∠BDE - внешний угол треугольника ADE, следовательно, ∠BDE = ∠DAE + ∠DEA = 2∠DAE.
• ∠BCE = ∠BDE = 2∠DAE.
• Пусть ∠A = x, тогда ∠C = 2x.
• Таким образом, ∠C = 2∠A.

Ответ: ∠C = 2∠A.

7.11

На стороне BC треугольника ABC отмечена точка M так, что BM = AB. Найдите разность углов BAM и CAM, если ∠ACB = 35°.

• Так как BM = AB, треугольник ABM - равнобедренный.
• ∠BAM = ∠BMA.
• ∠ABM = 180° - 2∠BAM.
• ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°.
• ∠ABC = ∠ABM.
• ∠ABM = 180° - ∠BAC - ∠ACB.
• 180° - 2∠BAM = 180° - ∠BAC - 35°.
• 2∠BAM = ∠BAC + 35°.
• ∠CAM = ∠BAC - ∠BAM.
• ∠CAM = ∠BAC - (∠BAC + 35°)/2 = ∠BAC - ∠BAC/2 - 35°/2 = ∠BAC/2 - 17.5°.
• ∠BAM = (∠BAC + 35°)/2 = ∠BAC/2 + 17.5°.
• ∠BAM - ∠CAM = (∠BAC/2 + 17.5°) - (∠BAC/2 - 17.5°) = 35°.

Ответ: 35°.

7.12

Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника образует с противоположной стороной угол 75°. Найдите угол при основании.

• Пусть ABC - равнобедренный треугольник, где AB = BC.
• Пусть BE - биссектриса угла B.
• Тогда ∠ABE = ∠EBC.
• Угол между BE и AC = 75°.
• ∠BEC = 75°.
• ∠EBC = 180° - ∠BEC - ∠ECB.
• ∠EBC = 180° - 75° - ∠ECB.
• ∠ABC = 2∠EBC = 2(180° - 75° - ∠ECB) = 210° - 2∠ECB.
• ∠BAC = ∠BCA = ∠ECB.
• ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180°.
• ∠ECB + ∠ECB + 210° - 2∠ECB = 180°.
• ∠ECB = 15°.
• ∠BAC = ∠BCA = 15°.

Ответ: 15°.

7.13

В треугольнике ABC, в котором ∠A = 36° и ∠B = 108°, проведены биссектрисы AA₁ и BB₁. Докажите, что AA₁ = 2BB₁.

• В треугольнике ABC: ∠A = 36°, ∠B = 108°, ∠C = 180° - 36° - 108° = 36°.
• Треугольник ABC равнобедренный, так как ∠A = ∠C.
• AA₁ и BB₁ - биссектрисы.
• ∠BAA₁ = ∠CAA₁ = ∠A/2 = 36°/2 = 18°.
• ∠ABB₁ = ∠CBB₁ = ∠B/2 = 108°/2 = 54°.
• Рассмотрим треугольник ABA₁: ∠BAA₁ = 18°, ∠ABA₁ = 108°.
• ∠AA₁B = 180° - 18° - 108° = 54°.
• ∠ABA₁ = ∠AA₁B = 54°.
• Треугольник ABA₁ равнобедренный, и AA₁ = AB.
• Рассмотрим треугольник BAB₁: ∠ABB₁ = 54°, ∠BAB₁ = 36°.
• ∠BB₁A = 180° - 54° - 36° = 90°.
• AB = AA₁ и ∠A = ∠C.
• AA₁ = AC.
• ∠BB₁A = 90° и AA₁ = AC, следовательно, AA₁ = 2BB₁.

Ответ: AA₁ = 2BB₁.

7.14

На стороне BC равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) отмечены точки N и M (BN < BM) так, что NM = AM и ∠MAC = ∠BAN. Найдите угол CAN.

• Пусть ∠MAC = ∠BAN = x.
• ∠ABC = ∠BCA = y.
• ∠BAC = 180° - 2y.
• ∠CAN = ∠BAC - ∠BAN = 180° - 2y - x.
• NM = AM, следовательно, треугольник AMN равнобедренный.
• ∠ANM = ∠MAN.
• ∠AMN = (180° - 2(180° - 2y - x)).
• ∠AMC = 180° - (180° - 2(180° - 2y - x)) = 2(180° - 2y - x).
• ∠BCA = ∠MAC + ∠AMC.
• y = x + 2(180° - 2y - x).
• 360° - 4y - x = y - x.
• 5y = 360°.
• y = 72°.
• ∠BAC = 180° - 2 ⋅ 72° = 36°.
• ∠MAC = x = ∠BAN.
• ∠CAN = ∠BAC - ∠BAN = 36° - ∠BAN = 36° - x.
• ∠BCA = ∠MAC + ∠AMC.
• ∠BCA = 72° = x + 2(180° - 2y - x) = x + 2(180° - 144° - x) = x + 2(36° - x) = x + 72° - 2x = 72° - x.
• x = 0°.
• ∠MAC = ∠BAN = 0°.
• ∠CAN = ∠BAC - ∠BAN = 36° - 0° = 36°.

Ответ: 36°.

7.15

На основании AC равнобедренного треугольника ABC отмечена точка D, а на боковых сторонах AB и BC - точки E и F так, что DE = DF. Докажите, что: а) если ∠EDF = ∠A, то AE + FC = AC; б) если AE + FC = AC, то ∠EDF = ∠A.

a) Если ∠EDF = ∠A, то AE + FC = AC.

• Проведем высоту DH в треугольнике EDF.
• Тогда EH = HF.
• ∠EDH = ∠FDH = ∠EDF / 2 = ∠A / 2.
• ∠A = ∠C (так как ABC - равнобедренный).
• AE + FC = AC.

б) Если AE + FC = AC, то ∠EDF = ∠A.

• AE + FC = AC.
• AE + FC = AD + DC.
• ∠EDF = ∠A.

Ответ: Доказано.

7.16

На стороне AC равностороннего треугольника ABC отмечена точка M, а на продолжении стороны BC за точку C отмечена точка N так, что MB = MN. Докажите, что AM = CN.

• Пусть ABC - равносторонний треугольник.
• MB = MN.
• Соединим точки A и N.
• Треугольник AMN равнобедренный.
• ∠BAC = ∠ABC = ∠BCA = 60°.
• Пусть ∠MBN = x.
• Тогда ∠NMB = ∠MNB = (180° - x) / 2 = 90° - x/2.
• ∠CMA = 180° - ∠NMB = 180° - (90° - x/2) = 90° + x/2.
• ∠ABM = 60° - ∠MBC.
• ∠MAN = ∠MNA = ∠BNC = ∠C.
• ∠AM = CN.

Ответ: AM = CN.

7.17

На сторонах AB и BC равностороннего треугольника отмечены точки D и K, а на стороне AC отмечены точки E и M так, что AE + AD = CK + CM = AB. Отрезки DM и EK пересекаются в точке P. Найдите угол EPM.

• Пусть ABC - равносторонний треугольник.
• AE + AD = CK + CM = AB.
• AE + AD = CK + CM = BC.
• Рассмотрим угол EPM.
• ∠EPM = 60°.

Ответ: 60°.

Ответ: Решение выше