На окружности отметили 4 точки, ABCD. Найди угол А, если вышло так, что ∠C = 57°, меньший угол, образовавшийся при пересечении прямых в точке O, равен 78°.

Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\), вписанный в окружность. По условию \(\angle C = 57^\circ\). Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°, поэтому \(\angle A + \angle C = 180^\circ\).

Тогда \(\angle A = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 57^\circ = 123^\circ\).

Пусть \(\angle BOC = 78^\circ\), тогда \(\angle AOD = 78^\circ\) как вертикальные.

Найдем углы \(\angle BOA\) и \(\angle COD\):

\(\angle BOA = \angle COD = (180^\circ - 78^\circ) : 2 = 51^\circ\)

Угол \(C\) опирается на дугу \(AB\), а угол \(A\) опирается на дугу \(CD\).

Тогда \(\angle C = \frac{1}{2} \cdot (\smile AD + \smile BC)\), а \(\angle A = \frac{1}{2} \cdot (\smile AB + \smile CD)\)

Сумма градусных мер дуг всей окружности равна 360°:

\(\smile AB + \smile BC + \smile CD + \smile DA= 360^\circ\)

Пусть \(\smile BOC = x\), тогда \(\smile AOD = x\)

Угол \(\angle BOC\) - центральный, следовательно, \(\smile BC = \angle BOC =78^\circ\)

Аналогично, \(\smile AD = \angle AOD = 78^\circ\)

Угол \(\angle COD\) - центральный, следовательно, \(\smile CD = \angle COD =51^\circ\)

Аналогично, \(\smile AB = \angle BOA = 51^\circ\)

Тогда \(\angle C = \frac{1}{2} \cdot (78^\circ + 78^\circ) = 78^\circ\), а \(\angle A = \frac{1}{2} \cdot (51^\circ + 51^\circ) = 51^\circ\)

Следовательно, \(\angle A = 51^\circ\).

Ответ: 51