На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 34°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. \( AB \) — диаметр окружности. Угол \( ANB \) — вписанный угол, опирающийся на диаметр. Следовательно, \( \angle ANB = 90^{\circ} \).

2. Рассмотрим треугольник \( ANB \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Угол \( \angle NAB \) равен \( 180^{\circ} - 90^{\circ} - 34^{\circ} = 56^{\circ} \).

3. Углы \( \angle ANM \) и \( \angle ABM \) являются вписанными углами, опирающимися на дугу \( AM \). Следовательно, \( \angle ANM = \angle ABM \).

4. Углы \( \angle NAM \) и \( \angle NBM \) являются вписанными углами, опирающимися на дугу \( NM \). Следовательно, \( \angle NAM = \angle NBM \).

5. Из шага 2 мы нашли, что \( \angle NAB = 56^{\circ} \). Так как \( \angle NAB = \angle NAM \), то \( \angle NAM = 56^{\circ} \).

6. Угол \( NMB \) равен углу \( NAB \), так как они опираются на одну дугу \( NB \). Следовательно, \( \angle NMB = \angle NAB = 56^{\circ} \).

Альтернативное решение:

1. \( AB \) — диаметр. Угол \( AMB \) — вписанный угол, опирающийся на диаметр. Следовательно, \( \angle AMB = 90^{\circ} \).

2. Угол \( NMB \) является частью угла \( AMB \).

3. Углы \( \angle MAB \) и \( \angle MNB \) опираются на одну дугу \( MB \), значит \( \angle MAB = \angle MNB \).

4. Углы \( \angle NBA \) и \( \angle NAM \) опираются на одну дугу \( NA \), значит \( \angle NBA = \angle NAM = 34^{\circ} \).

5. Рассмотрим треугольник \( AMB \). Угол \( \angle MAB = 90^{\circ} - \angle NBA = 90^{\circ} - 34^{\circ} = 56^{\circ} \) (так как \( \angle AMB = 90^{\circ} \) и \( \angle MBA = \angle NBA = 34^{\circ} \) - это неверно. Надо использовать \( \angle MAB \) и \( \angle MBA \)).

6. В треугольнике \( AMB \) угол \( \angle MAB \) равен \( 90^{\circ} - \angle MBA \) - это не так. Используем, что \( \angle MAB \) и \( \angle MNB \) равны.

7. Рассмотрим треугольник \( NAB \). \( \angle NAB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 34^{\circ} = 56^{\circ} \).

8. Углы \( \angle NMB \) и \( \angle NAB \) опираются на одну дугу \( NB \).

9. Следовательно, \( \angle NMB = \angle NAB = 56^{\circ} \).

Ответ: 56