На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что \(\angle AOB=45^{\circ}\). Длина меньшей дуги AB равна 91. Найдите длину большей дуги.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о свойствах окружности и дуг. 1. Определение угла и дуги: Центральный угол, опирающийся на дугу, равен градусной мере этой дуги. В данном случае, дуга AB, соответствующая меньшему сегменту, имеет градусную меру 45°. Полная окружность составляет 360°. 2. Нахождение градусной меры большей дуги: Чтобы найти градусную меру большей дуги, нужно вычесть градусную меру меньшей дуги из общей градусной меры окружности: \(360^{\circ} - 45^{\circ} = 315^{\circ}\) 3. Отношение длин дуг к их градусным мерам: Длина дуги пропорциональна ее градусной мере. Значит, можно составить пропорцию, чтобы найти длину большей дуги. Пусть \(L_{мал}\) – длина меньшей дуги, \(L_{бол}\) – длина большей дуги, \(\alpha_{мал}\) – градусная мера меньшей дуги, и \(\alpha_{бол}\) – градусная мера большей дуги. \(\frac{L_{мал}}{\alpha_{мал}} = \frac{L_{бол}}{\alpha_{бол}}\) 4. Подстановка известных значений: \(L_{мал} = 91\), \(\alpha_{мал} = 45^{\circ}\), \(\alpha_{бол} = 315^{\circ}\) \(\frac{91}{45} = \frac{L_{бол}}{315}\) 5. Решение пропорции: Чтобы найти \(L_{бол}\), умножим обе стороны уравнения на 315: \(L_{бол} = \frac{91 \times 315}{45}\) \(L_{бол} = \frac{91 \times 7}{1}\) \(L_{бол} = 637\) Таким образом, длина большей дуги равна 637. Ответ: 637