152. На окружности с центром O отмечены точки А и В так, что угол АОВ — прямой. Отрезок ВС - диаметр окружности. Докажите, что хорды АВ и АС равны.

Для решения этой задачи нам потребуется знание геометрии окружности и свойств вписанных углов.

1. Понимание условия: Дана окружность с центром O. Точки A и B лежат на окружности, угол AOB - прямой (90 градусов). BC - диаметр окружности. Нужно доказать, что хорды AB и AC равны.
2. Визуализация: Представим себе окружность с центром O. Проведем радиусы OA и OB, образующие прямой угол. BC - диаметр, значит, точка O лежит на отрезке BC.
3. Анализ углов: Так как BC - диаметр, угол BAC - вписанный угол, опирающийся на диаметр. Следовательно, угол BAC - прямой (90 градусов).
4. Рассмотрим треугольник ABC: Мы знаем, что угол BAC = 90 градусов. Значит, треугольник ABC - прямоугольный.
5. Применим теорему Пифагора:

   В прямоугольном треугольнике ABC:

   $$AB^2 + AC^2 = BC^2$$
6. Выразим BC через радиус:

   Так как BC - диаметр, то BC = 2 * R, где R - радиус окружности.

7. Рассмотрим треугольник AOB:

   Треугольник AOB - прямоугольный (угол AOB = 90 градусов), и OA = OB = R (радиусы окружности). По теореме Пифагора:

   $$AB^2 = OA^2 + OB^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$$
8. Подставим AB^2 в уравнение из пункта 5: $$2R^2 + AC^2 = (2R)^2$$ $$2R^2 + AC^2 = 4R^2$$ $$AC^2 = 4R^2 - 2R^2 = 2R^2$$ $$AC = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$$
9. Сравнение AB и AC:

   Мы нашли, что

   $$AB^2 = 2R^2$$ и $$AC^2 = 2R^2$$,

   значит,

   $$AB = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$$ и $$AC = R\sqrt{2}$$.
10. Вывод:

    Так как AB = $$R\sqrt{2}$$ и AC = $$R\sqrt{2}$$, то AB = AC.

Что и требовалось доказать: хорды AB и AC равны.