На окружности с центром в точке O отмечены точки A и B так, что ∠AOB = 120°. Длина меньшей дуги AB равна 67. Найдите длину большей дуги AB.

Решение:

Длина дуги окружности вычисляется по формуле: \( L = \frac{\pi R \alpha}{180^{\circ}} \), где R — радиус окружности, \( \alpha \) — центральный угол, соответствующий дуге.

В данном случае, для меньшей дуги AB, \( \alpha = 120^{\circ} \) и её длина \( L_{меньшей} = 67 \).

\( 67 = \frac{\pi R \cdot 120^{\circ}}{180^{\circ}} \)

Упростим дробь \( \frac{120^{\circ}}{180^{\circ}} = \frac{2}{3} \).

\( 67 = \frac{2 \pi R}{3} \)

Выразим \( \pi R \):

\( \pi R = \frac{3 \cdot 67}{2} = \frac{201}{2} = 100.5 \)

Длина всей окружности равна \( L_{окружности} = 2 \pi R \). В данном случае \( L_{окружности} = 2 × 100.5 = 201 \).

Центральный угол, соответствующий большей дуге AB, равен \( 360^{\circ} - 120^{\circ} = 240^{\circ} \).

Длина большей дуги AB вычисляется по формуле:

\( L_{большей} = \frac{\pi R \cdot 240^{\circ}}{180^{\circ}} \)

Упростим дробь \( \frac{240^{\circ}}{180^{\circ}} = \frac{4}{3} \).

\( L_{большей} = \frac{4 \pi R}{3} \)

Подставим значение \( \pi R = 100.5 \):

\( L_{большей} = \frac{4 × 100.5}{3} = \frac{402}{3} = 134 \)

Альтернативно, длина большей дуги равна длине всей окружности минус длина меньшей дуги:

\( L_{большей} = L_{окружности} - L_{меньшей} = 201 - 67 = 134 \)

Ответ: 134