На окружности с центром в точке О отмечены точки А и В так, что ∠AOB = 122°. Длина меньшей дуги АВ равна 61. Найдите длину большей дуги АВ.

Решение:

Угол \( \angle AOB \) является центральным углом, который опирается на меньшую дугу \( AB \). Величина центрального угла равна величине дуги, на которую он опирается. Следовательно, градусная мера меньшей дуги \( AB \) равна \( 122^{\circ} \).

Полная окружность составляет \( 360^{\circ} \). Градусная мера большей дуги \( AB \) равна разности между \( 360^{\circ} \) и градусной мерой меньшей дуги:

\[ \text{Большая дуга} = 360^{\circ} - 122^{\circ} = 238^{\circ} \]

Длина дуги пропорциональна ее градусной мере. Известно, что длина меньшей дуги \( AB \) (соответствующей \( 122^{\circ} \)) равна \( 61 \).

Обозначим длину всей окружности как \( C \). Тогда:

\[ \frac{\text{Длина меньшей дуги}}{\text{Градусная мера меньшей дуги}} = \frac{C}{360^{\circ}} \]

\[ \frac{61}{122^{\circ}} = \frac{C}{360^{\circ}} \]

Найдем длину окружности \( C \):

\[ C = \frac{61 \cdot 360^{\circ}}{122^{\circ}} = \frac{1 \cdot 360^{\circ}}{2} = 180 \]

Теперь найдем длину большей дуги \( AB \), которая составляет \( 238^{\circ} \) от окружности:

\[ \text{Длина большей дуги} = C \cdot \frac{\text{Градусная мера большей дуги}}{360^{\circ}} \]

\[ \text{Длина большей дуги} = 180 \cdot \frac{238^{\circ}}{360^{\circ}} = 180 \cdot \frac{238}{360} = \frac{238}{2} = 119 \]

Альтернативный способ:

Так как длина меньшей дуги \( 122^{\circ} \) равна \( 61 \), то длина \( 1^{\circ} \) дуги равна \( \frac{61}{122} = 0.5 \).

Длина большей дуги \( 238^{\circ} \) равна:

\[ 0.5 \cdot 238 = 119 \]

Ответ: 119