На окружности с центром в точке О отмечены точки А и В так, что угол АОВ равен 80°. Длина меньшей дуги АВ равна 58. Найдите длину большей дуги АВ.

Решение:

Нам дана окружность с центром в точке O. Точки A и B расположены на окружности так, что угол \( \angle AOB = 80^{\circ} \). Длина меньшей дуги AB равна 58.

Для начала найдём длину всей окружности. Длина дуги пропорциональна центральному углу, который она стягивает. Полный угол окружности составляет \( 360^{\circ} \).

Пусть \( L \) — длина всей окружности, а \( l_{AB} \) — длина меньшей дуги AB.

Пропорция выглядит так:

\( \frac{l_{AB}}{\angle AOB} = \frac{L}{360^{\circ}} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{58}{80^{\circ}} = \frac{L}{360^{\circ}} \)

Выразим \( L \) из этой пропорции:

\( L = \frac{58 \cdot 360^{\circ}}{80^{\circ}} \)

Упростим:

\( L = \frac{58 \cdot 36}{8} \)

\( L = \frac{58 \cdot 9}{2} \)

\( L = 29 \cdot 9 \)

\( L = 261 \)

Теперь, когда мы знаем длину всей окружности, мы можем найти длину большей дуги AB. Большая дуга AB составляет остальную часть окружности, то есть \( 360^{\circ} - 80^{\circ} = 280^{\circ} \).

Длина большей дуги \( L_{большая} \) будет равна:

\( L_{большая} = L - l_{AB} \)

\( L_{большая} = 261 - 58 \)

\( L_{большая} = 203 \)

Или, можно вычислить её напрямую, зная, что она стягивает угол \( 280^{\circ} \):

\( L_{большая} = \frac{l_{AB}}{\angle AOB} \cdot (360^{\circ} - \angle AOB) \)

\( L_{большая} = \frac{58}{80^{\circ}} \cdot 280^{\circ} \)

\( L_{большая} = \frac{58 \cdot 280}{80} \)

\( L_{большая} = \frac{58 \cdot 28}{8} \)

\( L_{большая} = \frac{58 \cdot 7}{2} \)

\( L_{большая} = 29 \cdot 7 \)

\( L_{большая} = 203 \)

Ответ: 203