3. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точки М и К так, что 21BM=∠СВК, точка М лежит между точками 1 и К. Докажите, что АМ= СК.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Пусть углы при основании AC равны, то есть ∠BAC = ∠BCA.

Дано, что ∠ABM = ∠CBK.

Рассмотрим углы ∠MBA и ∠KBC. Так как ∠ABC - общий угол для обоих, можем записать:

∠ABC = ∠MBA + ∠MBK и ∠ABC = ∠CBK + ∠MBK.

Поскольку ∠MBA = ∠CBK, следует, что ∠MBK = ∠MBA.

Теперь рассмотрим треугольники ABM и CBK.

1. AB = BC (как стороны равнобедренного треугольника).
2. ∠ABM = ∠CBK (по условию).
3. ∠BAM = ∠BCK (как углы при основании равнобедренного треугольника).

Следовательно, треугольники ABM и CBK равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), а значит, AM = CK.

Ответ: АМ = СК, что и требовалось доказать.