3. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точки М и К так, что LABM =∠CВК, точка М лежит между точками А и К. Докажите, что АМ = СК.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Точки M и K расположены на основании AC так, что ∠ABM = ∠CBK. Нужно доказать, что AM = CK.

Доказательство:

1. Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.
2. Рассмотрим углы ∠ABM и ∠CBK, они равны по условию.
3. Углы ∠ABC = ∠ABM + ∠MBK = ∠CBK + ∠MBK.
4. Рассмотрим треугольники ABM и CBK:

• AB = BC (так как ABC равнобедренный)
• ∠ABM = ∠CBK (по условию)
• ∠BAM = ∠BCK (так как углы при основании равнобедренного треугольника равны)

Значит, треугольники ABM и CBK равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников ABM и CBK следует, что AM = CK (как соответствующие стороны равных треугольников).

Ответ: AM = CK, доказано.