3. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точки М и К так, что LABM=ZCBK, точка М лежит между точками А и К. Докажите, что АМ = СК.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC и углы при основании AC равны, то есть ∠BAC = ∠BCA.

Дано: ∠ABM = ∠CBK.

Нужно доказать: AM = CK.

1. Так как треугольник ABC равнобедренный, то ∠BAC = ∠BCA.

2. Рассмотрим углы ∠ABM и ∠CBK, которые по условию равны. Обозначим их величину как α: ∠ABM = ∠CBK = α.

3. Рассмотрим углы ∠MBA и ∠KBC. ∠MBA = ∠ABC - ∠CBK ∠KBC = ∠ABC - ∠ABM. Поскольку ∠ABM = ∠CBK, то ∠MBA = ∠KBC.

4. Рассмотрим треугольники ABM и CBK:

• AB = BC (как стороны равнобедренного треугольника ABC).
• ∠ABM = ∠CBK (дано).
• ∠BAM = ∠BCK (как углы при основании равнобедренного треугольника ABC).

5. Следовательно, треугольники ABM и CBK равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

6. Из равенства треугольников ABM и CBK следует равенство соответствующих сторон: AM = CK.

Ответ: AM = CK.