На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точку М, а на стороне АВ — точку К такие, что ВК = КМ и КМ || ВС. Докажите, что АМ = МС.

Доказательство:

Дано: Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC. Точка M на AC, точка K на AB. BK = KM. KM || BC.

Доказать: AM = MC.

1. Рассмотрим треугольник BKM. Так как BK = KM, то треугольник BKM — равнобедренный. Углы при основании BK и KM равны: \( ∠ KBM = ∠ KMB \).
2. По условию KM || BC. Рассмотрим KM как секущую к параллельным прямым KM и BC. Тогда \( ∠ KMB \) и \( ∠ LCB \) (где L — точка на BC) являются соответственными углами. Однако, здесь удобнее использовать накрест лежащие углы при секущей BM. \( ∠ BKM \) и \( ∠ KBL \) (где L на BC) не имеют простой связи.
3. Используем то, что KM || BC. Рассмотрим BM как секущую. Тогда \( ∠ KMB \) и \( ∠ MBC \) являются накрест лежащими углами. Следовательно, \( ∠ KMB = ∠ MBC \).
4. Из равенства углов в равнобедренном треугольнике BKM (\( ∠ KBM = ∠ KMB \)) и равенства накрест лежащих углов (\( ∠ KMB = ∠ MBC \)), следует, что \( ∠ KBM = ∠ MBC \).
5. Угол \( ∠ KBM \) — это угол \( ∠ ABC \). Таким образом, луч BM является биссектрисой угла \( ∠ ABC \).
6. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, биссектриса угла при вершине B является также медианой и высотой.
7. Так как BM — медиана, она делит основание AC пополам. Следовательно, AM = MC.

Доказано.