На основании BC равнобедренного треугольника ABC выбрана точка D. Точки M и N симметричны D относительно прямых AB и AC соответственно, точка E симметрична D относительно биссектрисы угла A. Найдите угол MEN, если ∠ABC = 68°.

Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием BC, то

\(\angle ACB=\angle ABC=68^\circ\).

Следовательно, угол при вершине A равен

\(\angle BAC=180^\circ-68^\circ-68^\circ=44^\circ\).

Биссектриса угла A образует с каждой боковой стороной углы

\(\dfrac{44^\circ}{2}=22^\circ\).

При симметрии относительно прямой AB луч AD переходит в луч AM, поэтому угол между AM и AB равен углу между AD и AB. Аналогично, при симметрии относительно AC луч AD переходит в луч AN.

Точка E является отражением точки D относительно биссектрисы угла A. Поэтому биссектриса угла A является осью симметрии для лучей EM и EN, а угол \(MEN\) равен углу между соответствующими отражёнными направлениями.

Угол между лучами EM и EN получается как сумма углов при боковых сторонах и угла при вершине A:

\(\angle MEN=22^\circ+44^\circ+22^\circ=88^\circ\).

Ответ: 88°.