На основании ВС равнобедренного треугольника АВС отмечены точки М и N так, что ВМ = СN. Докажите, что: a) △BAM = △CAN; б) треугольник AMN равнобедренный. 119 В равнобедренном треугольнике DEK с основанием DK = 16 см отрезок EF - биссектриса, ∠DEF = 43°. Найдите KF, ∠DEK, ∠EFD.

Задача 118

а) Доказательство △BAM = △CAN:

1. Рассмотрим треугольники BAM и CAN.
2. AB = AC (так как треугольник ABC равнобедренный).
3. BM = CN (по условию).
4. ∠B = ∠C (как углы при основании равнобедренного треугольника ABC).
5. Следовательно, △BAM = △CAN по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

б) Доказательство, что треугольник AMN равнобедренный:

1. Так как △BAM = △CAN, то AM = AN (как соответственные элементы равных треугольников).
2. Следовательно, треугольник AMN равнобедренный, так как у него две стороны равны.

Ответ: доказано, что △BAM = △CAN и треугольник AMN равнобедренный.

Задача 119

1. Так как EF - биссектриса угла DEK, то ∠DEF = ∠FEK = 43°.
2. Следовательно, ∠DEK = ∠DEF + ∠FEK = 43° + 43° = 86°.
3. В равнобедренном треугольнике DEK биссектриса EF, проведенная к основанию DK, также является медианой. Значит, KF = DK / 2 = 16 см / 2 = 8 см.
4. Так как EF - биссектриса угла DEK, то ∠DEF = ∠FEK = 43°. В треугольнике DEK углы при основании DK равны, значит ∠DEK = ∠EKD = 86°. Угол ∠EFD является внешним углом треугольника EFK, а значит ∠EFD = ∠EKF + ∠FKD. ∠EKF = 90°, так как EF - высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, ∠FKD = ∠EKD = 86°/2 = 43°. Тогда ∠EFD = 90° - 43° = 47°.

Ответ: KF = 8 см, ∠DEK = 86°, ∠EFD = 47°.