На отрезке \(AB\) выбрана точка \(C\) так, что \(AC = 80\) и \(BC = 2\). Построена окружность с центром \(A\), проходящая через \(C\). Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки \(B\) к этой окружности.

Пусть \(D\) — точка касания касательной, проведенной из точки \(B\) к окружности с центром \(A\). Тогда \(AD\) — радиус окружности, проведенный в точку касания, и \(AD \perp BD\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ADB\). По теореме Пифагора:

$$ AB^2 = AD^2 + BD^2 $$

Найдём \(AB\) и \(AD\). Из условия \(AC = 80\) и \(BC = 2\), следовательно,

$$ AB = AC + BC = 80 + 2 = 82 $$

\(AD\) — радиус окружности, проходящей через \(C\), поэтому \(AD = AC = 80\). Подставим известные значения в теорему Пифагора:

$$ 82^2 = 80^2 + BD^2 $$ $$ BD^2 = 82^2 - 80^2 = (82 - 80)(82 + 80) = 2 \cdot 162 = 324 $$ $$ BD = \sqrt{324} = 18 $$

Ответ: Длина отрезка касательной равна 18.