На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 60 и BC = 15. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности. Докажите решение.

Радиус окружности равен \(AC=60\). Точки A, C и B лежат на одной прямой, причём C находится между A и B, поэтому \(AB=AC+CB=60+15=75\).

Обозначим точку касания через T. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому треугольник ABT прямоугольный, где \(AT=60\), \(AB=75\).

По теореме Пифагора:

\[BT^2=AB^2-AT^2=75^2-60^2=5625-3600=2025.\]

Следовательно, \(BT=\sqrt{2025}=45\).

Ответ: 45.