На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 75 и BC = 10. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

Решение:

Окружность имеет центр в точке A и проходит через точку C. Следовательно, радиус окружности \( r \) равен длине отрезка AC.

\( r = AC = 75 \)

Касательная, проведённая из точки B к окружности, перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Обозначим точку касания как T. Тогда \( \angle ATB = 90^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ATB. Гипотенузой является отрезок AB, а катетами — радиус AT и касательная BT.

Длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AC и CB, так как точка C лежит на отрезке AB:

\( AB = AC + CB = 75 + 10 = 85 \)

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ATB:

\( AB^2 = AT^2 + BT^2 \)

Найдём длину касательной BT:

\( BT^2 = AB^2 - AT^2 \)

\( BT^2 = 85^2 - 75^2 \)

Используем формулу разности квадратов: \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)

\( BT^2 = (85 - 75)(85 + 75) \)

\( BT^2 = (10)(160) \)

\( BT^2 = 1600 \)

\( BT = \sqrt{1600} = 40 \)

Ответ: 40