На отрезке АВ выбрана точка С так, что AC = 75 и BC = 10. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Решение:

Радиус окружности равен AC = 75. Расстояние от центра окружности (точки А) до точки В равно AB = AC + CB = 75 + 10 = 85.

Пусть точка касания касательной из точки В к окружности — точка Т. Тогда отрезок АТ является радиусом окружности, и АТ = 75. Треугольник АТВ — прямоугольный, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АТВ:

\( AB^2 = AT^2 + BT^2 \)

\( 85^2 = 75^2 + BT^2 \)

\( 7225 = 5625 + BT^2 \)

\( BT^2 = 7225 - 5625 \)

\( BT^2 = 1600 \)

\( BT = \sqrt{1600} = 40 \)

Длина отрезка касательной BT равна 40.

Ответ: 40