11. На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 75 и ВС = 10. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Обозначим точку касания окружности и касательной, проведенной из точки B, буквой M. Тогда AM – радиус окружности, проведенный в точку касания, а значит, AM⊥BM. Получается, что треугольник ABM – прямоугольный.

По теореме Пифагора:

$$ BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} $$

По условию AC = 75 и BC = 10, следовательно, AB = AC + BC = 75 + 10 = 85. AM – радиус окружности, значит, AM = AC = 75.

Тогда:

$$ BM = \sqrt{85^2 - 75^2} = \sqrt{7225 - 5625} = \sqrt{1600} = 40 $$

Ответ: 40