На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС=75 и ВС=10. Построена окружность с центром 4, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки В к этой окружности.

Решение:

Смотри, какая тут логика: нужно найти длину касательной, проведённой из точки В к окружности. Обозначим точку касания касательной из точки В с окружностью как К. Тогда ВК — это и есть длина касательной, которую нам нужно найти.

Разбираемся:

• Радиус окружности AC = 75.
• Отрезок АВ = АС + СВ = 75 + 10 = 85.
• Касательная ВК перпендикулярна радиусу АК (свойство касательной).
• Треугольник ABK — прямоугольный, угол BAK прямой.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABK:

\[AB^2 = AK^2 + BK^2\]

Подставляем известные значения:

\[85^2 = 75^2 + BK^2\]

\[7225 = 5625 + BK^2\]

\[BK^2 = 7225 - 5625\]

\[BK^2 = 1600\]

\[BK = \sqrt{1600}\]

\[BK = 40\]

Ответ: 40