На отрезке MN отмечена произвольная точка C. Проведены две окружности: первая с центром M и радиусом CM и вторая с центром N и радиусом CN. В точках P и Q прямая PQ касается соответственно первой и второй окружностей. Подберите подходящие фрагменты и составьте из них одно из возможных рассуждений, доказывающих перпендикулярность отрезков CP и CQ.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Анализ условия

   Точка C лежит на отрезке MN. Окружности с центрами M и N имеют радиусы CM и CN соответственно. Прямая PQ касается этих окружностей в точках P и Q.

2. Шаг 2: Свойства касательных

   Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, MC перпендикулярен PQ в точке P, а NC перпендикулярен PQ в точке Q.

3. Шаг 3: Углы

   Угол MPC равен 90° (так как MC перпендикулярно PQ в точке P). Аналогично, угол NQC равен 90° (так как NC перпендикулярно PQ в точке Q).

4. Шаг 4: Доказательство перпендикулярности CP и CQ

   Рассмотрим треугольники MPC и NQC. В треугольнике MPC угол MPC прямой, следовательно, угол MCP + угол CPM = 90°. Аналогично, в треугольнике NQC угол NQC прямой, следовательно, угол NCQ + угол CQN = 90°.

5. Шаг 5: Итог

   Мы знаем, что углы MPC и NQC прямые, что доказывает перпендикулярность отрезков CP и CQ прямой PQ. Следовательно, CP и CQ образуют прямые углы с прямой PQ, что и требовалось доказать.