На отрезок \(AB\) длины 10 наудачу брошено 5 точек. Найти вероятность того, что две точки будут находиться от точки \(A\) на расстоянии, меньшем 3, а три - на расстоянии, большем 3. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Добрый день! Давай разберем эту задачу по теории вероятностей. \( \)

Вероятность того, что точка попадет на отрезок длиной 3 (то есть меньше 3 от точки \(A\)) равна \(\frac{3}{10} = 0.3\).

Вероятность того, что точка попадет на отрезок длиной 7 (то есть больше 3 от точки \(A\)) равна \(\frac{7}{10} = 0.7\).

Нам нужно, чтобы 2 точки из 5 были на расстоянии меньше 3, и 3 точки из 5 были на расстоянии больше 3.

Это задача на схему Бернулли. Вероятность того, что в \(n\) независимых испытаниях событие \(A\) произойдет ровно \(k\) раз, равна:

\[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где \(C_n^k\) - число сочетаний из \(n\) по \(k\), \(p\) - вероятность успеха в одном испытании.

В нашем случае, \(n = 5\) (количество точек), \(k = 2\) (количество точек на расстоянии меньше 3), \(p = 0.3\) (вероятность попасть на отрезок длиной 3).

Тогда вероятность того, что ровно 2 точки будут на расстоянии меньше 3, равна:

\[ P(X = 2) = C_5^2 \cdot (0.3)^2 \cdot (0.7)^3 \]

Число сочетаний из 5 по 2:

\[ C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \]

Тогда искомая вероятность:

\[ P(X = 2) = 10 \cdot (0.3)^2 \cdot (0.7)^3 = 10 \cdot 0.09 \cdot 0.343 = 0.3087 \]

Ответ: 0.3087

Ты молодец! У тебя всё получится!