На первой грани куба записали число 1/64, на второй — число, равное частному 1/64 и 1/2, на третьей — число, равное частному числа на второй грани и 1/2, и т. д. Будет ли записано на одной из граней число 1?

Решение:

Пусть \(a_n\) — число, записанное на \(n\)-й грани куба.

По условию:

• \( a_1 = \frac{1}{64} \)
• \( a_2 = \frac{a_1}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{64}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{64} \cdot 2 = \frac{2}{64} = \frac{1}{32} \)
• \( a_3 = \frac{a_2}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{32}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{32} \cdot 2 = \frac{2}{32} = \frac{1}{16} \)

Мы видим, что каждое следующее число получается умножением предыдущего на 2. Это геометрическая прогрессия с первым членом \( a_1 = \frac{1}{64} \) и знаменателем \( q = 2 \).

Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии: \( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \).

В нашем случае: \( a_n = \frac{1}{64} \cdot 2^{n-1} \).

Мы хотим узнать, будет ли записано число 1. Для этого приравняем \( a_n \) к 1:

\[ \frac{1}{64} \cdot 2^{n-1} = 1 \]\[ 2^{n-1} = 64 \]\[ 2^{n-1} = 2^6 \]\[ n-1 = 6 \]\[ n = 7 \]Таким образом, число 1 будет записано на 7-й грани куба.

Ответ: Да.