На плоскости отметили две точки A и B. Известно, что AB = 3. Найдите множество всех точек M таких, что AM² + BM² = 20. Чему равен радиус окружности, на которой лежат все такие точки M?

Введём систему координат так, чтобы середина отрезка AB была началом координат, а AB лежал на оси абсцисс. Тогда A(−1.5; 0), B(1.5; 0).

Пусть M(x; y). По формуле расстояния:

\(AM^2=(x+1.5)^2+y^2\), \(BM^2=(x-1.5)^2+y^2\).

Подставим в условие и упростим:

\((x+1.5)^2+y^2+(x-1.5)^2+y^2=20\),

\(2x^2+2y^2+4.5=20\),

\(x^2+y^2=7.75=\frac{31}{4}\).

Это уравнение окружности с центром в середине AB и радиусом \(R=\frac{\sqrt{31}}{2}\).

Ответ: множество точек M — окружность с центром в середине AB и радиусом \(\frac{\sqrt{31}}{2}\).