На плоскости отметили две точки A и B. Известно, что AB = 5. Найдите множество всех точек M таких, что AM² + BM² = 35. Чему равен радиус окружности, на которой лежат все такие точки M?

Выберем систему координат, как указано в условии: начало координат — середина отрезка AB, а AB лежит на оси абсцисс. Тогда можно взять A(−2.5; 0), B(2.5; 0), M(x; y).

По формуле расстояния:

AM² = (x + 2.5)² + y²,   BM² = (x − 2.5)² + y².

Подставим в условие и упростим:

AM² + BM² = (x + 2.5)² + y² + (x − 2.5)² + y² = 2x² + 2y² + 12.5 = 35.

Следовательно, x² + y² = 11.25. Это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом √11.25 = 3√5/2.

Ответ: R = 3√5/2.