На плоскости отметили две точки A и B. Известно, что AB = 7. Найдите множество всех точек M таких, что AM² + BM² = 65. Чему равен радиус окружности, на которой лежат все такие точки M?

Поместим начало координат в середину отрезка AB, а сам отрезок — на ось абсцисс. Тогда A(−3.5; 0), B(3.5; 0), а M(x; y).

Вычислим сумму квадратов расстояний:

\(AM^2+BM^2=(x+3.5)^2+y^2+(x-3.5)^2+y^2=2x^2+2y^2+24.5\).

По условию эта сумма равна 65, поэтому \(2x^2+2y^2+24.5=65\), откуда \(x^2+y^2=20.25=4.5^2\).

Это уравнение окружности с центром в середине AB и радиусом 4.5.

Ответ: 4,5.