5.4 На плоскости отметили несколько точек и попарно соединили их отрезками. Провели прямую, которая не проходит ни через одну из этих точек. Оказалось, что она пересекла ровно 21 отрезок. Сколько отрезков не пересекла эта прямая? Будьте внимательны: у задачи может быть несколько решений! 5.5 Пятиугольная звезда состоит из пяти отрезков, которые соединяют пять её вершин так, как это показано на рисунке (рис. 5.14). Проведите прямую, которая пересечёт все эти пять отрезков. Можно ли провести прямую так, чтобы она не проходила через вершины этой звезды?

5.4

Пусть на плоскости отмечено $$n$$ точек. Количество отрезков, соединяющих эти точки, равно числу сочетаний из $$n$$ по 2, то есть $$\frac{n(n-1)}{2}$$.

Прямая пересекла 21 отрезок. Пусть общее число отрезков равно $$x$$. Тогда не пересекла прямая $$x-21$$ отрезков.

Нужно рассмотреть варианты количества точек $$n$$, при которых можно провести прямую, пересекающую ровно 21 отрезок.

1. Если $$n = 9$$, то общее количество отрезков равно $$\frac{9 \cdot 8}{2} = 36$$. Тогда прямая не пересекла $$36 - 21 = 15$$ отрезков.
2. Если $$n = 10$$, то общее количество отрезков равно $$\frac{10 \cdot 9}{2} = 45$$. Тогда прямая не пересекла $$45 - 21 = 24$$ отрезка.

Ответ: 15 или 24 отрезка.

5.5

Да, можно провести прямую, которая пересечет все пять отрезков пятиугольной звезды и не будет проходить через вершины этой звезды. Например, прямая, проходящая достаточно близко к центру звезды.