На плоскости отметили несколько точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Через каждые две точки провели прямую. Сколько было отмечено точек, если всего провели 15 прямых?

Пусть количество точек равно n. Тогда количество прямых, которые можно провести через каждые две точки, равно количеству сочетаний из n по 2, что можно записать как $$C_n^2$$.

По условию, $$C_n^2 = 15$$. Вспомним формулу для вычисления сочетаний: $$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$$.

Тогда получаем уравнение: $$\frac{n(n-1)}{2} = 15$$.

Умножим обе части на 2: $$n(n-1) = 30$$.

Раскроем скобки: $$n^2 - n = 30$$.

Перенесём всё в одну сторону: $$n^2 - n - 30 = 0$$.

Решим квадратное уравнение. Ищем два числа, произведение которых равно -30, а сумма равна 1. Это числа 6 и -5.

Тогда уравнение раскладывается на множители: $$(n - 6)(n + 5) = 0$$.

Отсюда два возможных решения: $$n = 6$$ или $$n = -5$$.

Поскольку количество точек не может быть отрицательным, остается $$n = 6$$.

Ответ: 6