На плоскости расположены 20 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые (не менее одной) из них покрасили в красный цвет, а остальные (не менее одной) — в синий. Потом провели всевозможные отрезки, соединяющие данные точки. Назовём отрезок одноцветным, если он соединяет точки одного цвета, иначе — разноцветным. Пусть было A разноцветных и B одноцветных отрезков. Найдите наибольшее возможное значение разности A − B.

Пусть красных точек r, а синих — b. Тогда r + b = 20.

Разноцветных отрезков A = rb, а одноцветных B = r(r − 1)/2 + b(b − 1)/2.

Поэтому A − B = (20 − (r − b)²)/2. Разность квадратов неотрицательна, значит выражение максимально, когда r = b = 10.

Тогда A − B = (20 − 0)/2 = 10.

Ответ: 10.