На плоскости расположены 22 точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые (не менее одной) из них покрасили в красный цвет, а остальные (не менее одной) — в синий. Потом провели всевозможные отрезки, соединяющие данные точки. Назовём отрезок одноцветным, если он соединяет точки одного цвета, иначе — разноцветным. Пусть было A разноцветных и B одноцветных отрезков. Найдите наибольшее возможное значение разности A − B. Найдите наименьшее возможное значение разности A − B.

Пусть красных точек r, тогда синих 22 − r, где 1 ≤ r ≤ 21. Число разноцветных отрезков равно числу пар точек разных цветов: A = r(22 − r).

Всего отрезков C(22, 2) = 231, поэтому B = 231 − A и A − B = 2A − 231.

Произведение r(22 − r) максимально при равном распределении цветов: r = 11, A = 121. Тогда A − B = 2 · 121 − 231 = 11.

Минимум произведения при допустимом распределении достигается, когда один цвет представлен одной точкой: r = 1 или r = 21, тогда A = 21. Поэтому A − B = 2 · 21 − 231 = −189.

Ответ: наибольшее значение — 11; наименьшее — −189.