На полке стоит банка с водой цилиндрической формы. В эту банку опускают шарик радиусом r = 3 см, при этом уровень воды в банке поднимается, шарик лежит на дне банки и касается водной поверхности. Найди объём воды в банке (в сантиметрах), если радиус основания банки R = 6 см. (В окошке запиши ответ, делённый на п.)

Решение:

Объём воды в банке будет равен объёму вытесненной воды, который равен объёму шарика, так как шарик полностью погружен в воду и касается водной поверхности. Однако, вода поднимается, когда шарик опускают. Это означает, что мы ищем объём воды, который теперь занимает пространство в банке, исключая объём шарика, который находится под водой. Если шарик касается водной поверхности, это значит, что уровень воды поднялся ровно настолько, чтобы покрыть шарик.

1. Объём шарика:

Формула объёма шара: \( V_{\text{шар}} = \frac{4}{3}\pi r^3 \)

Где \( r \) — радиус шарика, \( r = 3 \text{ см} \).

\( V_{\text{шар}} = \frac{4}{3}\pi (3 \text{ см})^3 = \frac{4}{3}\pi (27 \text{ см}^3) = 4 \cdot 9 \pi \text{ см}^3 = 36 \pi \text{ см}^3 \)

2. Высота поднятия воды:

Поскольку шарик касается водной поверхности, высота столба воды, вытесненной шариком, равна диаметру шарика, то есть \( h = 2r = 2 × 3 \text{ см} = 6 \text{ см} \).

3. Объём вытесненной воды (который теперь занимает место воды):

Этот объём равен объёму цилиндра с радиусом основания банки \( R \) и высотой \( h \).

Формула объёма цилиндра: \( V_{\text{цилиндр}} = \pi R^2 h \)

Где \( R \) — радиус основания банки, \( R = 6 \text{ см} \), \( h \) — высота поднятия воды, \( h = 6 \text{ см} \).

\( V_{\text{выт}} = \pi (6 \text{ см})^2 (6 \text{ см}) = \pi (36 \text{ см}^2) (6 \text{ см}) = 216 \pi \text{ см}^3 \)

4. Искомый объём воды:

Объём воды в банке — это объём, который вода заняла после погружения шарика. В задаче сказано: «Найди объём воды в банке». Это означает, что нам нужно найти объём воды, который находился в банке ДО того, как мы добавили шарик, если после погружения шарика уровень воды поднялся до его касания поверхности. Если шарик касается водной поверхности, то объём воды под шариком равен объёму цилиндра высотой (диаметр шара) минус объём шара. Однако, условие «при этом уровень воды в банке поднимается, шарик лежит на дне банки и касается водной поверхности» означает, что именно этот новый объём и нужно найти. Если уровень воды поднялся и коснулся верхней точки шарика, то объём воды в банке теперь составляет объём цилиндра с высотой, равной диаметру шара, минус объём шара. Но это не верно, так как вопрос в объеме воды.

Если шарик лежит на дне и касается поверхности, значит, высота воды равна диаметру шарика. Объем, который занимает вода, это весь объём банки до уровня касания, за вычетом объема шарика.

Объем цилиндра с радиусом R и высотой h (диаметр шарика):

\( V_{\text{цилиндр}} = \pi R^2 h = \pi (6^2) × 6 = \pi × 36 × 6 = 216 \pi \text{ см}^3 \)

Объем воды = Объём цилиндра - Объём шарика

\( V_{\text{воды}} = V_{\text{цилиндр}} - V_{\text{шар}} = 216 \pi - 36 \pi = 180 \pi \text{ см}^3 \)

Записываем ответ, делённый на \( \pi \).

\( \frac{180 \pi}{\pi} = 180 \)

Ответ: 180