7. На полуокружности АВ взяты точки С и D так, что CAC = 37°, CBD = 23°. Найдите хорду CD, если радиус окруж ности равен 15 см.

Пошаговое решение:

1. ∠ABC = 90°, так как он опирается на диаметр.
2. ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 90° - 23° = 67°.
3. ∠BAC = 180° - 90° - 23° = 67°.
4. Дуга AC соответствует 37°, значит ∠ADC = 37°.
5. Аналогично ∠BCD = 23°.
6. ∠ACD = ∠ADC - ∠ACB = 37° - 23° = 14°.
7. Рассмотрим треугольник COD. OC = OD = 15 (радиус окружности). ∠COD = 2 * ∠CAD = 2 * 14° = 28°.
8. По теореме косинусов: \[CD^2 = OC^2 + OD^2 - 2 \cdot OC \cdot OD \cdot cos(∠COD)\] \[CD^2 = 15^2 + 15^2 - 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot cos(28°)\] \[CD^2 = 225 + 225 - 450 \cdot cos(28°)\] \[CD^2 = 450 - 450 \cdot 0.8829\] \[CD^2 = 450 - 397.305\] \[CD^2 = 52.695\] \[CD = \sqrt{52.695} ≈ 7.26 \text{ см}\]

Ответ: CD ≈ 7.26 см