На поверхности воды плавают два поставленных друг на друга кубика из некоторого материала. При этом уровень воды совпадает с поверхностью соприкосновения кубиков. Сверху на них ставят еще один такой же по размеру кубик, но в 2 раза тяжелее. На какой глубине окажется нижняя грань нижнего кубика? Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с2. Плотность воды равна 1000 кг/м³. Ребро кубиков равно 2 см. Ответ укажите в см и округлите до целого числа.

Решение:

1. Определим объём одного кубика:

   \[V = a^3 = (2 \,\text{см})^3 = 8 \,\text{см}^3\]

2. Переведём плотность воды из кг/м³ в г/см³:

   \[\rho_{воды} = 1000 \,\frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 1 \,\frac{\text{г}}{\text{см}^3}\]

3. Определим массу первого и второго кубиков, учитывая, что они одинаковы, и обозначим её как m:

   \[m = V \cdot \rho\]

4. Масса третьего кубика:

   \[m_3 = 2m\]

5. Условие плавания тел:

   \[F_{арх} = P\]

   где:

   • F_{арх} - сила Архимеда,
   • P - общий вес тел.

6. Запишем условие плавания для двух кубиков:

   \[2mg = \rho_{воды} \cdot g \cdot V_{погр}\]

   где V_{погр} - объем погруженной части двух кубиков.

   Выразим V_{погр}:

   \[V_{погр} = \frac{2mg}{\rho_{воды} \cdot g} = \frac{2m}{\rho_{воды}}\]

   Так как \( m = V \cdot \rho \), то:

   \[V_{погр} = \frac{2V\rho}{\rho_{воды}}\]

7. Высота погруженной части (h) будет равна:

   \[h = \frac{V_{погр}}{a^2} = \frac{2V\rho}{\rho_{воды} a^2}\]

   Поскольку объём кубика \( V = a^3 \), то:

   \[h = \frac{2a^3 \rho}{\rho_{воды} a^2} = \frac{2a\rho}{\rho_{воды}}\]

   Учитывая, что уровень воды проходит по поверхности соприкосновения кубиков, \( h \) будет равно стороне кубика, то есть \( a = 2 \,\text{см} \).

8. Теперь рассмотрим случай с тремя кубиками. Условие плавания:

   \[2mg + 2mg = \rho_{воды} \cdot g \cdot V'_{погр}\]

   где \( V'_{погр} \) - новый объем погруженной части всех трех кубиков.

   Выразим \( V'_{погр} \):

   \[V'_{погр} = \frac{4mg}{\rho_{воды} g} = \frac{4V\rho}{\rho_{воды}}\]

9. Новая высота погруженной части (\( h' \)):

   \[h' = \frac{V'_{погр}}{a^2} = \frac{4V\rho}{\rho_{воды} a^2} = \frac{4a^3 \rho}{\rho_{воды} a^2} = \frac{4a\rho}{\rho_{воды}}\]

10. Подставим значения:

    \[h' = \frac{4 \cdot 2 \,\text{см} \cdot \rho}{\rho_{воды}} = \frac{8 \,\text{см} \cdot \rho}{\rho_{воды}}\]

    Поскольку первые два кубика уже погружены в воду на высоту 2 см, а плотность материала кубиков равна плотности воды, то:

    \[h' = \frac{8 \,\text{см} \cdot 1 \,\frac{\text{г}}{\text{см}^3}}{1 \,\frac{\text{г}}{\text{см}^3}} = 8 \,\text{см}\]

    Два кубика уже погружены полностью (4 см), значит, нижний кубик дополнительно погрузится на:

    \[\Delta h = h' - 2a = 8 \,\text{см} - 4 \,\text{см} = 4 \,\text{см}\]

11. Поскольку два кубика уже находятся в воде, нужно найти, на сколько погрузится третий кубик. Сила тяжести, действующая на три кубика:

    \[P = mg + mg + 2mg = 4mg\]

    Сила Архимеда:

    \[F_A = \rho_{воды} g V_{погр}\]

    Приравниваем:

    \[4mg = \rho_{воды} g V_{погр}\] \[V_{погр} = \frac{4mg}{\rho_{воды} g} = \frac{4V\rho}{\rho_{воды}}\]

    Высота погружения всех трех кубиков:

    \[h = \frac{V_{погр}}{a^2} = \frac{4V\rho}{a^2 \rho_{воды}} = \frac{4a^3 \rho}{a^2 \rho_{воды}} = \frac{4a\rho}{\rho_{воды}}\] \[h = \frac{4 \cdot 2 \,\text{см} \cdot \rho}{\rho_{воды}} = 8 \,\text{см}\]

    Высота погружения двух кубиков (как было рассчитано ранее):

    \[h_2 = 2a = 4 \,\text{см}\]

    Дополнительное погружение из-за третьего кубика:

    \[\Delta h = h - h_2 = 8 \,\text{см} - 4 \,\text{см} = 4 \,\text{см}\]

12. Так как верхний кубик наполовину в воде, а нижний полностью, глубина нижней грани нижнего кубика будет:

    \[2 \,\text{см} + 4 \,\text{см} - 2 \,\text{см} = 3 \,\text{см}\]