На праздник пришли 3 Толи и 2 Гали (всего 6 человек). Какова вероятность, что одна из Толей сидит между двумя Галями?

Решение:

Всего на празднике 6 человек: 3 Толи (Т) и 2 Гали (Г). Нас интересует вероятность того, что одна из Толей сидит между двумя Галями. Это значит, что у нас будет такая расстановка: Г Т Г.

Рассмотрим возможные расстановки из 6 человек. Всего таких расстановок \( 6! \).

Теперь посчитаем благоприятные исходы, когда одна Толя сидит между двумя Галями. Для этого сначала выберем одну из трёх Толей, которая будет сидеть между Галями. Есть \( 3 \) способа выбрать эту Толю. Затем, у нас есть \( 2 \) Гали. Мы можем расставить их как Г1 Т Г2 или Г2 Т Г1. Это \( 2 \) способа.

Таким образом, мы имеем блок 'Г Т Г'. Теперь нам нужно разместить этот блок и оставшихся \( 3 \) человек (\( 2 \) Толи и \( 1 \) Галя) в 6 местах.

Рассмотрим все возможные расположения трёх людей (2 Толи, 1 Галя) и блока (Галя - Толя - Галя).

Сначала определим, кто сидит между Галями. Есть 3 Толи. Выбираем одну из них. Это \( C_3^1 = 3 \) способа.

Есть 2 Гали. Мы можем расположить их как Г1 Т Г2 или Г2 Т Г1. Это \( 2! = 2 \) способа.

Таким образом, у нас есть блок \( (ГТГ) \). Осталось \( 3 \) человека (2 Толи и 1 Галя).

Рассмотрим случай, когда две Гали сидят рядом, а между ними одна Толя. Это последовательность: Г Т Г.

Всего человек: 3 Толи (Т1, Т2, Т3), 2 Гали (Г1, Г2). Общее количество мест: 6.

Общее число всех возможных перестановок 6 человек равно \( 6! = 720 \).

Теперь посчитаем благоприятные случаи, когда одна Толя сидит между двумя Галями. Такая расстановка может выглядеть как Г Т Г.

Сначала выберем одну из \( 2 \) Гали, которая будет слева. Есть \( 2 \) варианта. Затем выберем одну из \( 3 \) Толей, которая будет в центре. Есть \( 3 \) варианта. Затем выберем другую из \( 1 \) оставшихся Гали, которая будет справа. Есть \( 1 \) вариант.

Таким образом, существует \( 2 \times 3 \times 1 = 6 \) способов расположить людей в последовательности Г Т Г.

Осталось \( 6 - 3 = 3 \) человека (\( 2 \) Толи и \( 1 \) Галя). Эти \( 3 \) человека могут быть расставлены на оставшихся \( 3 \) местах \( 3! = 6 \) способами.

Тогда общее число благоприятных исходов равно \( 6 \times 6 = 36 \).

Вероятность равна \( \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество исходов}} = \frac{36}{720} \).

Упростим дробь: \( \frac{36}{720} = \frac{1}{20} \).

Ответ: \( \frac{1}{20} \).