На приведённом чертеже треугольники AED, BFE, CGF являются равносторонними, а два отмеченных угла имеют градусную меру 150°. Найдите сторону DE, если AB = 17, FG = 20, а периметр пятиугольника DABCG на 27 больше периметра четырёхугольника DEFG.

Обозначим EF = x. В равностороннем треугольнике CGF имеем CG = FG = 20, а в треугольнике AED — AD = DE.

Вычтем периметр четырёхугольника DEFG из периметра пятиугольника DABCG. Слагаемые AD и DE, CG и FG, а также GD сокращаются:

AB + BC − EF = 27, поэтому 17 + BC − x = 27 и BC − x = 10.

Из равносторонности треугольников и отмеченных углов следует, что ∠AEB = 90° и ∠BFC = 90°. Поэтому по теореме Пифагора:

\(AB^2 = AE^2 + BE^2 = DE^2 + EF^2\),

\(BC^2 = BF^2 + FC^2 = EF^2 + FG^2 = x^2 + 20^2\).

Значит, \(BC = \sqrt{x^2 + 400}\). Подставим в соотношение периметров:

\(\sqrt{x^2 + 400} - x = 10\).

\(\sqrt{x^2 + 400} = x + 10\), откуда после возведения в квадрат \(x^2 + 400 = x^2 + 20x + 100\), следовательно, \(x = 15\).

Теперь найдём DE:

\(17^2 = DE^2 + 15^2\), поэтому \(DE^2 = 289 - 225 = 64\), и \(DE = 8\).

Ответ: 8.